\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 11 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
设 \( f,g\in L^2 ( \mathbb R ) \), 证明 \[ \left | \iint_{\mathbb R^2 }\hat f(x) g(y)e^{-\pi (x^2+y^2 )}dxdy \right | \leq\frac {\sqrt 2 } 2 \| f \|_{ L^2 (\mathbb R )} \| g \|_{ L^2 (\mathbb R )}. \]其中 \( \hat f\) 表示函数 \(f\) 的 Fourier 变换.
\(\mathcal{P}roof. \)
考虑 Plancherel 公式， 有\[ \|f\|_2 =\|\hat f \|_2. \] 考虑 Fourier 变换的不动点, 设函数 \[ \varphi (x)=e^{-\pi x ^2 }, \]则 \[\hat \varphi (x)=e^{-\pi x ^2 }= \varphi (x) . \] 所以运用以上性质 \[ \begin{aligned} \left | \iint_{\mathbb R^2 }\hat f(x) g(y)e^{-\pi (x^2+y^2 )}dxdy \right | &= \left | \iint_{\mathbb R^2 }\hat f(x)\varphi(x) \cdot g(y)\varphi(y)dxdy \right | \\&= \left | \int_{\mathbb R }\hat f(x) \varphi (x) dx \right | \cdot \left | \int_{\mathbb R } g(y)\hat \varphi(y) dy \right | \\& = \left | \int_{\mathbb R }\hat f(x) \varphi (x) dx \right | \cdot \left | \int_{\mathbb R } \hat g(y)\varphi(y) dy \right | \\&\leq \int_{\mathbb R } \left |\hat f(x) \varphi (x)\right | dx \cdot \int_{\mathbb R } \left | \hat g(y)\varphi(y) \right | dy \\& \leq \| \varphi \|_{ L^2 (\mathbb R )} ^2 \| \hat f \|_{ L^2 (\mathbb R )} \| \hat g \|_{ L^2 (\mathbb R )} \\& = \frac {\sqrt2}2 \| f \|_{ L^2 (\mathbb R )} \| g \|_{ L^2 (\mathbb R )}. \end{aligned} \]